Każdy świat w ziarnku piasku: Zadziwiająca geometria Johna Nasha

by Daniel Mateusz, Konwersacje

Jak powszechnie donoszono, John Forbes Nash Jr zginął tragicznie w wypadku samochodowym 23 maja tego roku. Wiele hołdów zostały wypłacone temu wielkiemu matematykowi, którego rozsławiła biografia Sylvii Nasar Piękny umysł i kolejne film na podstawie tej książki.

Wiele powiedziano o pracy Nasha nad teoria gry. Mniej jednak powiedziano o innych osiągnięciach matematycznych Nasha. Wielu matematyków, którzy rozumieją pracę Nasha, zgodziłoby się, jak sądzę, że chociaż jego praca w teorii gier miała największy wpływ na inne dziedziny, Nash dokonał innych przełomów, które były jeszcze bardziej imponujące.

Oprócz teorii gier Nash pracował w tak różnych dziedzinach, jak geometria algebraiczna, topologia, równania różniczkowe cząstkowe i kryptografia.

Ale być może najbardziej spektakularne wyniki Nasha były w: geometria. Chcąc uhonorować życie Nasha, chciałbym spróbować nadać posmak tej pracy.

John Nash i czysta matematyka

Wiele prac Nasha dotyczyło geometrii. Ale ten rodzaj geometrii – geometria różniczkowa – bardzo różni się od geometrii wyuczonej w szkole średniej. Nie chodzi tu o trygonometrię czy Pitagorasa, jakie można znaleźć w podręcznikach do matematyki. Chodzi raczej o tematy takie jak powierzchnie, krzywizny i gładkość.

Jak wszyscy czyści matematycy, Nash udowodnił twierdzenia: logiczne twierdzenia, które są rygorystyczne, precyzyjne i absolutnie prawdziwe, bez tolerancji dla niejasności. Świat czystej matematyki jest surowy i często zawiły, ale jego roszczenia do prawdy są wieczne i absolutne.

Cóż, to przynajmniej teoria. Przełomy w czystej matematyce są często na granicy ludzkiego zrozumienia. Pełne zrozumienie nowych rozwiązań wymaga czasu, nawet dla osób pracujących w terenie.

Praca Nasha była przypadkiem skrajnym. Jego artykuły mogły być prezentowane chaotycznie, trudne do naśladowania, a jego podejście do problemów było często niepodobne do niczego, co było przed nim, oszukując zarówno studentów, jak i ekspertów. Ale w swojej kreatywności był prawie nie z tego świata.

Podczas gdy argumenty matematyczne są ściśle ograniczone rygorystycznymi wymogami logiki, konstrukcje i metody Nasha były dzikie. I nigdzie nie było to bardziej niż w jego pracy nad geometrią.

Geometria Nasha

Weź płaską kartkę papieru. Możesz go zginać, ale bez rozrywania i marszczenia, jakie kształty możesz wykonać? Nie możesz zrobić kuli, ani nawet jej części, ponieważ kula jest… zakrzywiony, podczas gdy papier jest mieszkanie.

Ale możesz zrobić cylinder. A nawet stożek, jak wiesz, jeśli kiedykolwiek widziałeś kapelusz osła. (Fakt ten jest również przydatny do robienia rożków waflowych, jak pokazano poniżej.)

Rożki waflowe zaczynają się jako płaskie powierzchnie. Gotham3/ingur

Jak się okazuje, mimo że walec lub stożek wygląda na zakrzywiony, tak jest wewnętrznie płaski. Na studiach licencjackich z geometrii różniczkowej (takich jak ten, którego uczę w Monash) bada się tę wewnętrzną krzywiznę i okazuje się, że istnieje wiele płaskich powierzchni.

Ta powierzchnia może nie wyglądać na płaską, ale tak jest. Richard Morris/Wikipedia

Te pomysły istniały przez setki lat przed Nashem, ale Nash posunął je znacznie dalej.

Problem z osadzaniem

Nash podjął ideę „osadzenia” powierzchni: umieszczenia jej w przestrzeni bez rozdzierania, fałdowania lub krzyżowania się. Osadzenie, które nie zniekształca wewnętrznej geometrii powierzchni, jest „izometryczne”. Innymi słowy, powyższe powierzchnie są „izometrycznymi osadzeniami” płaszczyzny w przestrzeni trójwymiarowej.

Pytanie o osadzenie izometryczne można zadać nie tylko dla płaszczyzny, ale dla każdej możliwej powierzchni: kul, pączków (które matematycy nazywają tori, aby brzmieć porządnie) i wielu innych.

Jak się okazuje, istnieją powierzchnie tak mocno zakrzywione lub splątane, że w ogóle nie da się ich osadzić w trójwymiarowej przestrzeni. W rzeczywistości nie można ich nawet osadzić w czterowymiarowej przestrzeni.

Ale Nash pokazał, że każdą powierzchnię można osadzić w 17-wymiarowej przestrzeni. Dodatkowe wymiary, dalekie od uczynienia problemu jeszcze trudniejszym, w rzeczywistości ułatwiają – dając więcej miejsca na osadzenie Twojej powierzchni! Później prace Nasha zostały ulepszone przez innych i teraz wiemy że każda powierzchnia może być osadzona w 5-wymiarowej przestrzeni.

Jednak powierzchnie są tylko dwuwymiarowe. A Nasha interesowały powierzchnie o dowolnym możliwym wymiarze. Te wyżej wymiarowe odpowiedniki powierzchni są znane jako „rozmaitości”.

Nash udowodnił, że w przestrzeni o jakimś wymiarze zawsze można wbudować rozmaitość, nie zniekształcając jej geometrii. Dzięki temu doniosłemu wynikowi rozwiązał problem osadzania izometrycznego.

Dowód Nasha na problem osadzania izometrycznego był całkowitym zaskoczeniem dla większości matematycznej społeczności. Jego metody były rewolucyjne. Wielki matematyk Michaił Gromow powiedział, że praca Nasha nad problemem osadzania uderzył go być "tak przekonujący jak podnoszenie się za włosy”. Ale po wielkim wysiłku Gromow w końcu zrozumiał dowód Nasha: pod koniec długiej argumentacji Nasha Gromow powiedział: Nash „cudem uniosła cię w powietrze za włosy"!

Osadzanie izometryczne w akcji

Gromov rozwijał własne pomysły, inspirowane twórczością Nasha. Napisał książkę – podobnie słynną wśród matematyków ze swojej niezrozumiałości, jak praca Nasha – w której opracował metodę zwaną „integracją wypukłą”.

Metoda Gromova miała kilka zalet. Jednym z nich jest to, że łatwiej jest narysować obrazy osadzania wykonanego jego metodą integracji wypukłej. Przed Gromovem wiedzieliśmy, że istnieją osadzania izometryczne i mają wspaniałe właściwości, ale bardzo trudno było nam je zwizualizować, nie tylko dlatego, że często były w wyższych wymiarach.

W 2012, do zespół francuskich matematyków wykonał grafikę komputerową zanurzeń izometrycznych przy użyciu metod integracji wypukłej Gromova. Są niezwykle misterne, niemal fraktalne, a jednocześnie gładkie. Niektóre są pokazane poniżej.

Świat w ziarnku piasku

Praca Nasha nad problemem osadzania izometrycznego ma wiele aspektów i doprowadziła do wielu dalszych badań.

Jednym ze szczególnie niesamowitych aspektów jest to, jak konstruowane są osadzania izometryczne. Praca Nasha, połączona z późniejszą pracą autorstwa Nicolaasa Kuipera, pokazało, że jeśli chcesz izometrycznie osadzić powierzchnię w przestrzeni trójwymiarowej, wystarczy ją zmniejszyć.

Jeśli masz „skurczone” osadzenie swojej powierzchni – to znaczy, że wszystkie długości są zmniejszone – wtedy Nash i Kuiper pokazują, jak uzyskać izometryczne osadzenie swojej powierzchni, po prostu dostosowując nieco skurczoną wersję.

To brzmi śmiesznie. Weźmy na przykład kulę – powiedzmy powierzchnię piłki tenisowej – i wyobraźmy sobie, że zmniejszamy ją do promienia nanometrów. Nash i Kuiper pokazują, że wystarczająco „marszczając” powierzchnię (ale zawsze gładko; nie wolno fałdować, fałdować, rozdzierać ani rozdzierać!) można uzyskać izometryczną kopię oryginalnej piłki tenisowej, a wszystko to w promieniu nanometra. Ten rodzaj „marszczenia” powierzchni został odtworzony w grafice komputerowej francuskiego zespołu.

Francuski zespół rozważał wzięcie płaskiej, kwadratowej kartki papieru. Przyklej górną stronę do dolnej, aby uzyskać cylinder. Teraz przyklej lewą stronę do prawej strony. Jeśli o tym pomyślisz, możesz zobaczyć, że dostajesz pączka. Ale zauważysz, że papier jest teraz pomarszczony lub zniekształcony.

Czy potrafisz osadzić go w trójwymiarowej przestrzeni bez zniekształceń? Nash i Kuiper mówią „tak”. Gromow mówi „użyj wypukłej integracji”. A francuscy matematycy mówią „tak to wygląda”!

Izometryczne osadzenie kwadratowego płaskiego torusa w przestrzeni otoczenia. Projekt Hevea, CC BY-SA

Więcej zdjęć dostępnych na stronie Projektu .

Ale twierdzenie matematyczne nie dotyczy tylko piłek tenisowych czy pączków: twierdzenie to dotyczy każdej rozmaitości dowolnego wymiaru. W ziarnku piasku można zamknąć każdy świat.

Jak on to zrobił?

Nash miał rzadkie połączenie geniuszu i ciężkiej pracy. W swojej biografii Nasha Sylvia Nasar opisuje jego niesamowitą intensywność i wysiłek włożony w pracę nad problemem.

Jak dobrze wiadomo z filmu, Nash uwierzył w dziwaczne teorie spiskowe z udziałem kosmitów i istot nadprzyrodzonych, w wyniku swojej schizofrenii. Kiedy później zapytano go, dlaczego on, niezwykle inteligentny naukowiec, może wierzyć w takie rzeczy, powiedział, że te pomysły „przyszły do ​​mnie w taki sam sposób, jak moje matematyczne pomysły. Więc potraktowałem je poważnie”.

I szczerze mówiąc, gdyby moja głowa podpowiadała mi pomysły tak dokładne i tak wnikliwe, jak te potrzebne do udowodnienia twierdzenia o osadzeniu izometrycznym, prawdopodobnie zaufałbym również kosmitom i nadprzyrodzonym.

Daniel Mateusz jest wykładowcą matematyki w Uniwersytet Monash.

Ten artykuł został pierwotnie opublikowany w Konwersacje. Przeczytać oryginalny artykuł.