Ogni mondo in un granello di sabbia: la sorprendente geometria di John Nash

by Daniele Matteo, The Conversation

Come è stato ampiamente riportato, John Forbes Nash Jr è morto tragicamente in un incidente stradale il 23 maggio di quest'anno. Molti omaggi sono stati pagati a questo grande matematico, reso famoso dalla biografia di Sylvia Nasar A Beautiful Mind e il successivo film basato su quel libro.

Molto è stato detto sul lavoro di Nash su teoria del gioco. Ma meno è stato detto sugli altri risultati matematici di Nash. Molti matematici che capiscono il lavoro di Nash sarebbero d'accordo, penso, che sebbene il suo lavoro sulla teoria dei giochi abbia avuto il maggiore impatto su altri campi, Nash ha fatto altre scoperte ancora più impressionanti.

Oltre alla teoria dei giochi, Nash ha lavorato in campi diversi come geometria algebrica, topologia, equazioni alle derivate parziali e crittografia.

Ma forse i risultati più spettacolari di Nash sono stati in geometria. Per onorare la vita di Nash, vorrei provare a dare un sapore ad alcuni di questi lavori.

John Nash e la matematica pura

Gran parte del lavoro di Nash è stato nel campo della geometria. Ma questo tipo di geometria, la geometria differenziale, è molto diversa dalla geometria appresa al liceo. Non si tratta di trigonometria o Pitagora, come si trova nei libri di matematica secondari. Piuttosto, si tratta di argomenti come superfici, curvatura e levigatezza.

Come tutti i matematici puri, Nash ha dimostrato i teoremi: affermazioni logiche rigorose, precise e assolutamente vere, senza tolleranza per la vaghezza. Il mondo della matematica pura è austero e spesso astruso, ma le sue pretese di verità sono eterne e assolute.

Beh, almeno questa è la teoria. Le scoperte nella matematica pura sono spesso ai limiti della comprensione umana. Ci vuole tempo, anche per chi è sul campo, per comprendere appieno i nuovi sviluppi.

Il lavoro di Nash è stato un caso estremo. I suoi documenti potevano essere presentati in modo caotico, difficili da seguire e i suoi approcci ai problemi erano spesso diversi da qualsiasi cosa fosse venuta prima di lui, confondendo studenti ed esperti allo stesso modo. Ma era quasi ultraterreno nella sua creatività.

Mentre gli argomenti matematici sono strettamente vincolati dai rigorosi requisiti della logica, le costruzioni ei metodi di Nash erano selvaggi. E da nessuna parte questo lo è stato più che nel suo lavoro sulla geometria.

La geometria di Nash

Prendi un foglio di carta piatto. Puoi piegarlo, ma senza strapparlo o piegarlo, che forme puoi creare? Non puoi creare una sfera, o anche una sezione di una sfera, perché una sfera è curvo, mentre la carta è piatto.

Ma puoi fare un cilindro. E anche un cono, come saprai se hai mai visto un cappello da somaro. (Questo fatto è utile anche per fare coni di cialda, come mostrato di seguito.)

I coni di cialda iniziano come superfici piane. Gotham3/ingur

A quanto pare, anche se un cilindro o un cono sembra curvo, lo è intrinsecamente piatto. In un corso di laurea in geometria differenziale (come quello a cui insegno a Monash), si studia questa curvatura intrinseca e si scopre che ci sono molte superfici piane.

Questa superficie potrebbe non sembrare piatta, ma lo è. Richard Morris/Wikipedia

Queste idee esistevano da centinaia di anni prima di Nash, ma Nash le ha portate molto oltre.

Il problema dell'incorporamento

Nash ha raccolto l'idea di “incorporare” una superficie: collocarla nello spazio senza strapparsi, sgualcirsi o attraversarsi. Un'immersione che non distorce la geometria intrinseca della superficie è “isometrica”. In altre parole, le superfici sopra sono "incorporamenti isometrici" del piano nello spazio tridimensionale.

La questione dell'incastonatura isometrica può essere posta non solo per il piano, ma per qualsiasi superficie possibile: sfere, ciambelle (che i matematici chiamano tori per cercare di sembrare rispettabili) e molte altre.

A quanto pare, ci sono superfici così fortemente curve o aggrovigliate che non possono essere affatto incorporate nello spazio tridimensionale. In effetti, non possono nemmeno essere incorporati nello spazio quadridimensionale.

Ma Nash ha mostrato che qualsiasi superficie può essere incorporata nello spazio a 17 dimensioni. Dimensioni extra, lungi dal rendere il problema ancora più difficile, in realtà lo rendono più facile, dandoti più spazio per incorporare la tua superficie! In seguito, il lavoro di Nash fu migliorato da altri e ora sappiamo che qualsiasi superficie può essere incorporata nello spazio a 5 dimensioni.

Tuttavia, le superfici sono solo bidimensionali. E Nash era interessato alle superfici di ogni possibile dimensione. Questi analoghi delle superfici di dimensioni superiori sono noti come "varietà".

Nash ha dimostrato che è sempre possibile incorporare una varietà nello spazio di una certa dimensione, senza distorcerne la geometria. Con questo risultato epocale, ha risolto il problema dell'incorporamento isometrico.

La dimostrazione di Nash del problema dell'incorporamento isometrico è stata una completa sorpresa per gran parte della comunità matematica. I suoi metodi erano rivoluzionari. Il grande matematico Michele Gromov ha detto che il lavoro di Nash sul problema dell'incorporamento lo ha colpito essere "tanto convincente quanto sollevarsi per i capelli”. Ma dopo un grande sforzo, Gromov ha finalmente compreso la prova di Nash: alla fine della lunga discussione di Nash, Gromov ha detto, Nash "miracolosamente, ti ha sollevato in aria per i capelli"!

Incorporamento isometrico in azione

Gromov ha continuato a sviluppare le proprie idee, ispirate dal lavoro di Nash. Ha scritto un libro – altrettanto famoso tra i matematici per la sua incomprensibilità, proprio come il lavoro di Nash – in cui ha sviluppato un metodo chiamato “integrazione convessa”.

Il metodo di Gromov aveva diversi vantaggi. Uno è che è più facile disegnare immagini di un'inclusione realizzata con il suo metodo di integrazione convessa. Prima di Gromov, sapevamo che esistevano incorporamenti isometrici e avevano proprietà meravigliose, ma era molto difficile cercare di visualizzarli, anche perché erano spesso in dimensioni più elevate.

In 2012, un squadra di matematici francesi ha prodotto computer grafica di immersioni isometriche utilizzando i metodi di integrazione convessa di Gromov. Sono estremamente intricati, quasi frattali, ma lisci. Alcuni sono mostrati di seguito.

Il mondo in un granello di sabbia

Il lavoro di Nash sul problema dell'incorporamento isometrico ha molte sfaccettature e ha portato a un'enorme quantità di ricerche successive.

Un aspetto particolarmente sorprendente è il modo in cui vengono costruiti gli incastri isometrici. Il lavoro di Nash, combinato con il successivo lavoro di Nicolaas Kuiper, ha mostrato che se si desidera incorporare isometricamente una superficie in uno spazio tridimensionale, è sufficiente essere in grado di rimpicciolirla.

Se hai un'inclusione "rimpicciolita" della tua superficie, ovvero con tutte le lunghezze diminuite, Nash e Kuiper mostrano come puoi ottenere un'inclusione isometrica della tua superficie semplicemente regolando un po' la tua versione rimpicciolita.

Sembra ridicolo. Ad esempio, prendi una sfera, ad esempio la superficie di una pallina da tennis, e immagina di rimpicciolirla per avere un raggio nanometrico. Nash e Kuiper mostrano che "arruffando" la superficie a sufficienza (ma sempre in modo uniforme; non è consentito piegare o piegare o strappare o strappare!) Puoi avere una copia isometrica della tua pallina da tennis originale, il tutto contenuto in questo raggio di nanometri. Questo tipo di “increspatura” della superficie è stato riprodotto nella computer grafica del team francese.

Il team francese ha preso in considerazione l'idea di prendere un pezzo di carta quadrato e piatto. Incolla il lato superiore sul lato inferiore, per ottenere un cilindro. Ora incolla il lato sinistro al lato destro. Se ci pensi, potresti essere in grado di vedere che ottieni una ciambella. Ma scoprirai che la carta ora è piegata o distorta.

Puoi incorporarlo nello spazio tridimensionale senza distorsioni? Nash e Kuiper dicono "sì". Gromov dice “usa l'integrazione convessa”. E i matematici francesi dicono “ecco come appare”!

Incorporamento isometrico del toro piatto quadrato nello spazio ambiente. Progetto Hevea, CC BY-SA

Altre immagini sono disponibili presso il Project's sito web.

Ma il teorema matematico non si applica solo alle palline da tennis o alle ciambelle: il teorema vale per qualsiasi varietà di qualsiasi dimensione. Qualsiasi mondo può essere contenuto in un granello di sabbia.

Come ha fatto?

Nash aveva una rara combinazione di genio e duro lavoro. Nella sua biografia di Nash, Sylvia Nasar descrive in dettaglio la sua formidabile intensità e lo sforzo speso per lavorare sul problema.

Come è ben noto dal film, Nash è arrivato a credere in stravaganti teorie cospirative che coinvolgono alieni ed esseri soprannaturali, a causa della sua schizofrenia. Quando in seguito gli è stato chiesto perché lui, uno scienziato estremamente intelligente, potesse credere in cose del genere, ha detto quelle idee “è venuto da me nello stesso modo in cui sono arrivate le mie idee matematiche. Quindi li ho presi sul serio”.

E francamente, se la mia testa mi dicesse idee accurate e perspicaci come quelle necessarie per dimostrare il teorema dell'incorporamento isometrico, probabilmente mi fiderei anche degli alieni e del soprannaturale.

Daniele Matteo è Docente di Matematica presso Università di Monash.

Questo articolo è stato pubblicato in origine The Conversation. Leggi il articolo originale.