Chaque monde dans un grain de sable : la géométrie étonnante de John Nash

by Daniel Mathieu, La Conversation

Comme cela a été largement rapporté, John Forbes Nash Jr est décédé tragiquement dans un accident de voiture le 23 mai de cette année. De nombreux hommages ont été payés à ce grand mathématicien, rendu célèbre par la biographie de Sylvia Nasar un bel esprit et la suite film basé sur ce livre.

On a beaucoup parlé du travail de Nash sur la théorie des jeux. Mais on a moins parlé des autres réalisations mathématiques de Nash. De nombreux mathématiciens qui comprennent le travail de Nash conviendraient, je pense, que bien que son travail en théorie des jeux ait eu le plus d'impact sur d'autres domaines, Nash a fait d'autres percées qui étaient encore plus impressionnantes.

En dehors de la théorie des jeux, Nash a travaillé dans des domaines aussi divers que géométrie algébrique, topologie, équations aux dérivées partielles et de la cryptographie.

Mais les résultats les plus spectaculaires de Nash ont peut-être été géométrie. Pour honorer la vie de Nash, j'aimerais essayer de donner un avant-goût de ce travail.

John Nash et les mathématiques pures

Une grande partie du travail de Nash était dans le domaine de la géométrie. Mais ce genre de géométrie – la géométrie différentielle – est très différente de la géométrie apprise au lycée. Il ne s'agit pas de trigonométrie ou de Pythagore, comme on en trouve dans les manuels de mathématiques du secondaire. Il s'agit plutôt de sujets tels que les surfaces, la courbure et la douceur.

Comme tous les mathématiciens purs, Nash a prouvé des théorèmes : des énoncés logiques qui sont rigoureux, précis et absolument vrais, sans aucune tolérance pour l'imprécision. Le monde des mathématiques pures est austère et souvent abscons, mais ses prétentions à la vérité sont éternelles et absolues.

Eh bien, c'est du moins la théorie. Les percées en mathématiques pures se situent souvent aux limites mêmes de la compréhension humaine. Il faut du temps, même pour ceux qui travaillent sur le terrain, pour bien comprendre les nouveaux développements.

Le travail de Nash était un cas extrême. Ses articles pouvaient être présentés de manière chaotique, difficiles à suivre et ses approches des problèmes étaient souvent différentes de tout ce qui l'avait précédé, embobinant étudiants et experts. Mais il était presque d'un autre monde dans sa créativité.

Alors que les arguments mathématiques sont étroitement contraints par les exigences rigoureuses de la logique, les constructions et les méthodes de Nash étaient sauvages. Et cela n'était nulle part plus vrai que dans ses travaux sur la géométrie.

La géométrie de Nash

Prenez une feuille de papier plate. Vous pouvez le plier, mais sans le déchirer ni le froisser, quelles formes pouvez-vous réaliser ? Vous ne pouvez pas créer une sphère, ni même une section de sphère, car une sphère est courbé, tandis que le papier est plat.

Mais vous pouvez faire un cylindre. Et même un cône, comme vous le saurez si vous avez déjà vu un chapeau d'âne. (Ce fait est également utile pour faire des cornets de gaufres, comme indiqué ci-dessous.)

Les cônes gaufrés commencent par des surfaces planes. Gotham3/ingur

Il s'avère que même si un cylindre ou un cône semble incurvé, il est intrinsèquement plat. Dans un cours de premier cycle sur la géométrie différentielle (comme celui que j'enseigne chez Monash), on étudie cette courbure intrinsèque, et il s'avère qu'il y a beaucoup de surfaces planes.

Cette surface peut ne pas sembler plate, mais elle l'est. Richard Morris/Wikipédia

Ces idées existaient depuis des centaines d'années avant Nash, mais Nash les a poussées beaucoup plus loin.

Le problème de l'encastrement

Nash a repris l'idée d'« enfoncer » une surface : la placer dans l'espace sans se déchirer, se froisser ou se croiser. Un plongement qui ne déforme pas la géométrie intrinsèque de la surface est « isométrique ». En d'autres termes, les surfaces ci-dessus sont des « encastrements isométriques » du plan dans l'espace tridimensionnel.

La question du plongement isométrique peut être posée non seulement pour l'avion, mais pour toute surface possible : sphères, beignets (que les mathématiciens appellent tori pour essayer de paraître respectable) et bien d'autres.

Il s'avère que certaines surfaces sont si fortement incurvées ou enchevêtrées qu'elles ne peuvent pas du tout être intégrées dans un espace tridimensionnel. En fait, ils ne peuvent même pas être intégrés dans un espace à 3 dimensions.

Mais Nash a montré que n'importe quelle surface peut être intégrée dans un espace à 17 dimensions. Les dimensions supplémentaires, loin de rendre le problème encore plus difficile, le rendent en réalité plus facile – vous donnant plus de place pour encastrer votre surface ! Plus tard, le travail de Nash a été amélioré par d'autres, et nous savons maintenant que n'importe quelle surface peut être intégrée dans un espace à 5 dimensions.

Cependant, les surfaces ne sont que bidimensionnelles. Et Nash s'intéressait aux surfaces de toutes les dimensions possibles. Ces analogues de dimensions supérieures des surfaces sont connus sous le nom de « collecteurs ».

Nash a prouvé que vous pouvez toujours intégrer une variété dans un espace d'une certaine dimension, sans déformer sa géométrie. Avec ce résultat capital, il a résolu le problème du plongement isométrique.

La preuve de Nash du problème de plongement isométrique a été une surprise totale pour une grande partie de la communauté mathématique. Ses méthodes étaient révolutionnaires. Le grand mathématicien Mikhaïl Gromov a dit que le travail de Nash sur le problème d'intégration l'a frappé être "aussi convaincant que se soulever par les cheveux”. Mais après un grand effort, Gromov a finalement compris la preuve de Nash : à la fin du long argument de Nash, Gromov a dit, Nash «miraculeusement, t'a-t-il soulevé en l'air par les cheveux"!

L'encastrement isométrique en action

Gromov a continué à développer ses propres idées, inspirées par le travail de Nash. Il a écrit un livre – également réputé parmi les mathématiciens pour son incompréhensibilité, tout comme le travail de Nash – dans lequel il a développé une méthode appelée « intégration convexe ».

La méthode de Gromov présentait plusieurs avantages. La première est qu'il est plus facile de dessiner des images d'un plongement réalisé avec sa méthode d'intégration convexe. Avant Gromov, nous savions que les plongements isométriques existaient et avaient des propriétés merveilleuses, mais nous avions beaucoup de mal à les visualiser, notamment parce qu'ils étaient souvent dans des dimensions plus élevées.

Dans 2012, un équipe de mathématiciens français produit des graphiques informatiques de plongements isométriques en utilisant les méthodes d'intégration convexe de Gromov. Ils sont extrêmement complexes, presque fractals, mais lisses. Certains sont présentés ci-dessous.

Le monde dans un grain de sable

Les travaux de Nash sur le problème de l'inclusion isométrique ont de nombreuses facettes et ont conduit à d'énormes quantités de recherches ultérieures.

Un aspect particulièrement étonnant est la façon dont les plongements isométriques sont construits. Le travail de Nash, combiné avec le travail ultérieur de Nicolas Kuiper, a montré que si vous vouliez incorporer isométriquement une surface dans un espace tridimensionnel, il suffit de pouvoir la rétrécir.

Si vous avez un encastrement "rétréci" de votre surface - c'est-à-dire avec toutes les longueurs diminuées - alors Nash et Kuiper montrent comment vous pouvez obtenir un encastrement isométrique de votre surface simplement en ajustant un peu votre version rétrécie.

Cela semble ridicule. Par exemple, prenez une sphère - disons la surface d'une balle de tennis - et imaginez la réduire pour avoir un rayon nanométrique. Nash et Kuiper montrent qu'en « ébouriffant » suffisamment la surface (mais toujours en douceur ; aucun pli, pliage, déchirure ou déchirure n'est autorisé !), vous pouvez avoir une copie isométrique de votre balle de tennis d'origine, le tout contenu dans ce rayon nanométrique. Ce type de « froissement » de la surface a été reproduit dans l'infographie de l'équipe de France.

L'équipe française a envisagé de prendre une feuille de papier carrée et plate. Collez la face supérieure sur la face inférieure, pour obtenir un cylindre. Collez maintenant le côté gauche sur le côté droit. Si vous y réfléchissez, vous pourrez peut-être voir que vous obtenez un beignet. Mais vous constaterez que le papier est maintenant froissé ou déformé.

Pouvez-vous l'intégrer dans un espace tridimensionnel sans distorsion ? Nash et Kuiper disent « oui ». Gromov dit "utiliser l'intégration convexe”. Et les mathématiciens français disent «voilà à quoi ça ressemble” !

Encastrement isométrique du tore plat carré dans l'espace ambiant. Projet Hévéa, CC BY-SA

Plus de photos sont disponibles sur le site du projet website.

Mais le théorème mathématique ne s'applique pas seulement aux balles de tennis ou aux beignets : le théorème est valable pour toute variété de n'importe quelle dimension. Tout monde peut être contenu dans un grain de sable.

Comment a-t-il fait?

Nash avait une rare combinaison de génie et de travail acharné. Dans sa biographie de Nash, Sylvia Nasar détaille sa formidable intensité et les efforts déployés pour travailler sur le problème.

Comme il est bien connu dans le film, Nash en est venu à croire à des théories du complot étranges impliquant des extraterrestres et des êtres surnaturels, en raison de sa schizophrénie. Lorsqu'on lui a demandé plus tard pourquoi lui, un scientifique extrêmement intelligent, pouvait croire à de telles choses, il a dit que ces idées « me sont venus de la même manière que mes idées mathématiques. Alors je les ai pris au sérieux ».

Et franchement, si ma tête me disait des idées aussi précises et aussi perspicaces que celles nécessaires pour prouver le théorème d'intégration isométrique, je le ferais probablement aussi confiance aux extraterrestres et au surnaturel.

Daniel Mathieu est maître de conférences en mathématiques à Université de Monash.

Cet article a été publié initialement le La Conversation. Lis le article original.