Jokainen maailma hiekanjyvässä: John Nashin hämmästyttävä geometria

by Daniel Mathews, Conversation

Kuten on laajalti raportoitu, John Forbes Nash Jr kuoli traagisesti auto-onnettomuudessa 23. toukokuuta tänä vuonna. Monet kunnianosoitukset on maksettu tälle suurelle matemaatikolle, jonka Sylvia Nasarin elämäkerta teki tunnetuksi Beautiful Mind ja sen jälkeen elokuva tuon kirjan perusteella.

Nashin työstä on puhuttu paljon peliteoria. Mutta vähemmän on puhuttu Nashin muista matemaattisista saavutuksista. Monet matemaatikot, jotka ymmärtävät Nashin työtä, olisivat mielestäni samaa mieltä siitä, että vaikka hänen työllään peliteoriassa oli eniten vaikutusta muihin aloihin, Nash teki muita läpimurtoja, jotka olivat vieläkin vaikuttavampia.

Peliteorian lisäksi Nash työskenteli niinkin erilaisilla aloilla kuin algebrallinen geometria, topologia, osittaisdifferentiaaliyhtälöt ja kryptografia.

Mutta ehkä Nashin upeimmat tulokset olivat mukana geometria. Nashin elämän kunniaksi haluaisin yrittää antaa makua jostain tästä työstä.

John Nash ja puhdas matematiikka

Suuri osa Nashin työstä oli geometrian alalla. Mutta tällainen geometria – differentiaaligeometria – on hyvin erilaista kuin lukiossa opittu geometria. Kyse ei ole trigonometriasta tai Pythagorasta, kuten toissijaisista matematiikan oppikirjoista löytyy. Pikemminkin se koskee sellaisia ​​aiheita kuin pinnat, kaarevuus ja sileys.

Kuten kaikki puhtaat matemaatikot, Nash osoitti lauseet: loogisia väitteitä, jotka ovat tiukkoja, tarkkoja ja ehdottoman totta, ilman epämääräisyyttä. Puhtaan matematiikan maailma on ankara ja usein tiukka, mutta sen väitteet totuudesta ovat ikuisia ja ehdottomia.

No, se on ainakin teoria. Puhtaan matematiikan läpimurrot ovat usein ihmisen ymmärryksen rajoilla. Jopa alan toimijoilta kestää aikaa ymmärtää täysin uusi kehitys.

Nashin työ oli ääritapaus. Hänen paperinsa voitiin esittää kaoottisesti, vaikeasti seurattavia, ja hänen lähestymistapansa ongelmiin poikkesi usein kaikista ennen häntä olleista, hämmentäen niin opiskelijoita kuin asiantuntijoitakin. Mutta hän oli luovuudessaan melkein muualla.

Vaikka logiikan tiukat vaatimukset rajoittavat tiukasti matemaattisia argumentteja, Nashin rakenteet ja menetelmät olivat villejä. Eikä tämä ollut missään niin paljon kuin hänen geometriatyössään.

Nashin geometria

Ota tasainen paperiarkki. Voit taivuttaa sitä, mutta mitä muotoja voit tehdä repimättä tai rypistymättä? Et voi tehdä palloa tai edes osaa pallosta, koska pallo on kaareva, kun paperi on tasainen.

Mutta voit tehdä sylinterin. Ja jopa kartio, kuten tiedät, jos olet koskaan nähnyt tähkähattua. (Tämä seikka on hyödyllinen myös vohvelikartioiden valmistuksessa, kuten alla on esitetty.)

Vohvelikartiot alkavat tasaisina pinnoina. Gotham3/ingur

Kuten käy ilmi, vaikka sylinteri tai kartio näyttää kaarevalta, se on sitä luonnostaan ​​tasainen. Differentiaaligeometrian perustutkintokurssilla (esim jota opetan Monashissa), tutkitaan tätä luontaista kaarevuutta, ja käy ilmi, että tasaisia ​​pintoja on paljon.

Tämä pinta ei ehkä näytä tasaiselta, mutta sitä se on. Richard Morris/Wikipedia

Nämä ideat olivat olemassa satoja vuosia ennen Nashia, mutta Nash vei ne paljon pidemmälle.

Upottamisen ongelma

Nash otti ajatuksen pinnan "upottamisesta": sen sijoittamisesta avaruuteen repeytymättä, rypistymättä tai ristiin. Upotus, joka ei vääristä pinnan luontaista geometriaa, on "isometrinen". Toisin sanoen yllä olevat pinnat ovat tason "isometrisiä upotuksia" kolmiulotteiseen avaruuteen.

Isometrinen upotuskysymys voidaan esittää paitsi tasolle, myös kaikille mahdollisille pinnoille: palloille, munkkeille (jota matemaatikot kutsuvat toriksi yrittääkseen kuulostaa kunnioitettavalta) ja monilta muilta.

Kuten käy ilmi, on pintoja, jotka ovat niin voimakkaasti kaarevia tai sotkeutuneita, että niitä ei voi upottaa 3-ulotteiseen tilaan ollenkaan. Itse asiassa niitä ei voi edes upottaa 4-ulotteiseen tilaan.

Mutta Nash osoitti, että mikä tahansa pinta voidaan upottaa 17-ulotteiseen avaruuteen. Ylimääräiset mitat eivät suinkaan tee ongelmasta vielä vaikeampaa, vaan helpottavat sitä – antavat sinulle enemmän tilaa pinnan upottamiseen! Myöhemmin muut paransivat Nashin työtä ja nyt tiedämme että mikä tahansa pinta voidaan upottaa 5-ulotteiseen avaruuteen.

Pinnat ovat kuitenkin vain kaksiulotteisia. Ja Nash oli kiinnostunut kaikista mahdollisista pinnoista. Näitä korkeamman ulottuvuuden pintojen analogeja kutsutaan "jakoputkiksi".

Nash osoitti, että voit aina upottaa jakoputken jonkin ulottuvuuden avaruuteen vääristämättä sen geometriaa. Tällä tärkeällä tuloksella hän ratkaisi isometrisen upotusongelman.

Nashin todiste isometrisestä upotusongelmasta tuli täydellisenä yllätyksenä suurelle osalle matemaattista yhteisöä. Hänen menetelmänsä olivat vallankumouksellisia. Suuri matemaatikko Mihail Gromov sanoi, että Nashin työ upotusongelman parissa löi häntä olla "yhtä vakuuttavaa kuin itsensä hiuksista nostaminen”. Mutta suuren ponnistelun jälkeen Gromov lopulta ymmärsi Nashin todisteen: Nashin pitkän väittelyn lopussa Gromov sanoi: Nash.ihmeen kaupalla nosti sinut ilmaan hiuksista"!

Isometrinen upotus toiminnassa

Gromov jatkoi omien ideoidensa kehittämistä Nashin työn inspiroimana. Hän kirjoitti kirjan – joka on matemaatikoiden keskuudessa yhtä tunnettu käsittämättömyydestään, aivan kuten Nashin työn – jossa hän kehitti menetelmän nimeltä "kupera integraatio".

Gromovin menetelmällä oli useita etuja. Yksi on, että hänen kuperalla integrointimenetelmällään tehdystä upotuksesta on helpompi piirtää kuvia. Ennen Gromovia tiesimme isometristen upotusten olemassaolosta ja niillä oli upeita ominaisuuksia, mutta meillä oli erittäin vaikeaa yrittää visualisoida niitä, ei vähiten siksi, että ne olivat usein korkeammissa ulottuvuuksissa.

Vuonna 2012 vastaavasti ranskalaisten matemaatikoiden ryhmä tuotti tietokonegrafiikkaa isometrisistä upotuksista Gromovin konveksia integrointimenetelmiä käyttäen. Ne ovat erittäin monimutkaisia, melkein fraktaalimaisia, mutta silti sileitä. Jotkut on esitetty alla.

Maailma hiekanjyvässä

Nashin työllä isometrisen upotusongelman parissa on monia puolia ja se on johtanut valtaviin määriin myöhempään tutkimukseen.

Yksi erityisen hämmästyttävä näkökohta on se, kuinka isometriset upotukset rakennetaan. Nashin työ yhdistettynä myöhempään työhön Nicolaas Kuiper, osoitti, että jos haluat upottaa pinnan isometrisesti 3-ulotteiseen avaruuteen, se riittää kutistamaan sitä.

Jos pinnallasi on "kutistettu" upotus – eli kaikki pituudet pienentyneet – niin Nash ja Kuiper näyttävät, kuinka voit saada pintasi isometrisen upotuksen vain säätämällä hieman kutistettua versiota.

Tämä kuulostaa naurettavalta. Otetaan esimerkiksi pallo – esimerkiksi tennispallon pinta – ja kuvitellaan kutistavan sitä nanometrin säteellä. Nash ja Kuiper osoittavat, että "rypistämällä" pintaa riittävästi (mutta aina tasaisesti; ei rypistymistä, taittumista, repeytymistä tai repeytymistä!) voit saada isometrisen kopion alkuperäisestä tennispallostasi, kaikki tämän nanometrin säteellä. Tämän tyyppinen pinnan "rypyttely" toistettiin ranskalaisen joukkueen tietokonegrafiikassa.

Ranskan joukkue harkitsi tasaisen neliömäisen paperin ottamista. Liimaa yläpuoli alapuolelle saadaksesi sylinterin. Liimaa nyt vasen puoli oikealle puolelle. Jos ajattelet sitä, saatat nähdä, että saat donitsin. Mutta huomaat, että paperi on nyt rypistynyt tai vääristynyt.

Voitko upottaa sen kolmiulotteiseen tilaan ilman vääristymiä? Nash ja Kuiper sanovat "kyllä". Gromov sanoo "käytä kuperaa integrointia”. Ja ranskalaiset matemaatikot sanovat "tältä se näyttää"!

Neliönmuotoisen litteän toruksen isometrinen upottaminen ympäröivään tilaan. Hevea projekti, CC BY-SA

Lisää kuvia löytyy projektista verkkosivusto.

Mutta matemaattinen lause ei päde vain tennispalloihin tai munkkeihin: lause pätee kaikkiin minkä tahansa ulottuvuuden monistoon. Mikä tahansa maailma voi olla hiekanjyvän sisällä.

Kuinka hän teki sen?

Nashissa oli harvinainen yhdistelmä neroutta ja kovaa työtä. Nashin elämäkerrassaan Sylvia Nasar kertoo hänen valtavasta intensiivisyydestään ja vaivannäöstään ongelman parissa työskentelemiseen.

Kuten elokuvasta tiedetään, Nash alkoi uskoa omituisiin salaliittoteorioihin, joissa oli mukana muukalaisia ​​ja yliluonnollisia olentoja skitsofreniansa seurauksena. Kun häneltä myöhemmin kysyttiin, miksi hän, erittäin älykäs tiedemies, saattoi uskoa sellaisiin asioihin, hän sanoi nämä ajatukset "Tuivat minulle samalla tavalla kuin matemaattiset ideani. Joten otin ne vakavasti."

Ja suoraan sanottuna, jos pääni kertoisi minulle yhtä tarkkoja ja oivaltavia ideoita kuin isometrisen upotuslauseen todistamiseen tarvittavat, luottaisin siihen todennäköisesti myös avaruusolioihin ja yliluonnollisiin.

Daniel Mathews on matematiikan lehtori klo Monashin yliopisto.

Tämä artikkeli julkaistiin alunperin Conversation. Lue alkuperäinen artikkeli.